Math for fun Popularne knihy o vede sa nedostavaju casto na prve miesta rebrickov bestsellerov. A je uplnou raritou, ked sa to podari kniham o matematike. Simonovi Singhovi sa podarilo ziskat si citatelov. Tych, ktorym vdaka zlym ucitelom v skole neostala zahalena krasa matematiky, ale i citatelov, ktori sa takyto handicap snazia odstranit a nie ho hlupo vystavovat na obdiv. Singh ziskal vyborne vzdelanie v exaktnych vedach (doktorat z fyziky z Cambridge). Pri spristupnovani vysledkov vedy sirsiemu publiku si ho najprv vyskusal ako producent a reziser BBC, najvacsiu slavu mu ale priniesli jeho knihy. Matematika sifrovania The Code Book, nie je kniha o tom, ako vysledky starocnych zapasov medzi sifrovacmi a ich supermi, desifrovacmi, menili prerozdelenie politickej, ekonomickej ci vojenskej moci. Je o sifrovani a desifrovani ako o intelektualnej vyzve, i ked treba pripustit, ze pri jej zdolavani mozu hrat ulohu aj prizemne materialne, mocenske, ci emocionalne stimuly. Je oslavou amaterov i profesionalov, ktori tejto vzrusujucej vyzve venovali casto cely svoj zivot. Singh podava dejiny kryptografie videne hlavne ocami matematiky. Lebo ta, spolu s informatikou, je schopna presne porovnat ucinnost jednotlivych sifrovacich technik ci dat dokaz ich spolahlivosti. I ked to bolo az v polovici 20. storocia, ked matematici a informatici vytlacili z branze hadankarov a krizovkarov. Ulohou sifrovacov je najst kodovaciu metodu, ktora bude splnat dve, spravidla protichodne poziadavky. Ma byt spolahliva a zaroven prakticka. Pritom vyznam oboch tychto pojmov za postupne menil. V casoch ked sa zem otacala pomalsie (ci dokonca stala) mohlo stacit spravu napisat na cerstvo vyholenu hlavu posla. System vyhovoval pri vtedajsom rozsahu sprav, rozsireniu gramotnosti a rychlosti dopravy. Ine naroky ma informacna spolocnost, existencne zavisla na spolahlivom a lacnom komunikovani milionov citlivych udajov behom sekundy. Enigma Enigmy Matematicky pohlad na dejiny sifrovania mozno ilustrovat na vyvoji najjednoduchsieho sifrovania, pri ktorom je sprava napisana "tajnou" abecedou, alebo, co je to iste, "poprehadzovanou" abecedou. Aj keby sme pouzili len male pismena, dostaneme obrovsky pocet moznych poprehadzovani, v pripade slovenciny je ich pocet vyjadreny cislom s patdesiatimi nulami. Velky pocet moznosti, odveky spojenec sifrovaca, robi ulohu zdanlivo nezvladnutelnu pre desifrovaca. Tomu vsak prichadza na pomoc jeho odveky spojenec - pravidelnost. Tentokrat sa vola frekvencna analyza. Prvy popis jej pouzitia pochadza z 9. storocia (je v arabcine, ako inak, v tej dobe). Vyuziva jednoduche pozorovanie, ze v kazdom jazyku sa niektore pismena pouzivaju castejsie ako ine. To robi desifrovanie hrackou. Pracu by nam len trochu skomplikovalo keby sme dostali zasifrovany 200 stranovy roman Francuza G. Pereca, La Disparition, v ktorom sa nevyskytuje pismeno "e" ci jeho preklad do anglictiny z pera G. Adairoma, A Void, ktory si zachoval podobnu uchylku. Zbran proti frekvencnej analyze bola vyvinuta az v 16. storoci. Bol nou jednoduchy trik - miesto jednej abecedy pouzivat postupne niekolko. To iste pismeno potom mohlo byt v texte zakodovne viacerymi sposobmi. Tri storocia bola tato metoda povazovana za neprelomitelnu az ju anglicky genius Ch. Babbage pokoril. Pomohla mu pravidelnost. Poziadavka praktickosti nutila sifrovacov pouzit obmedzeny pocet abecied, kedze informaciu, ktore budu pouzite, si museli obe strany pomocou hesla vopred vymenit. A tak sa po nejakom case v zasifrovanom texte zacali periodicky objavovat useky zakodovane podla tych istych abecied. Kryptografickou hviezdou prvej polovice 20. storocia bol nemecky sifrovaci stroj Enigma, ktory mal tuto nevyhodu odstranit. Disponoval obrovskym poctom abecied - keby desifrovac vyskusal kazdu minutu jednu, tak by mu na desifrovanie nestacil vek vesmiru - ale informacia o skutocne pouzitych sa dala skondenzovat do strucneho popisu pociatocneho nastavenia stroja. Na rozlusteni Enigmy mozno ilustrovat, ze peniaze nemusia byt jedinou, tym skor najsilnejsou motivaciu pre podanie dusevneho vykonu. Poliakov a neskor Anglicanov este viac motivoval strach z nepriatela. Prvym sa podarilo pri desifrovani vyuzit pravidelnost - sifrovaci si klucovu informaciu o dennom nastaveni stroja posielali zdvojene. Anglican A. Turing, jeden z najslavnejsich informatikov, zas nasiel sposob, ako rozlustit spravy Enigmy aj potom, co si Nemci uvedomia tuto bezbecnostnu dieru. Ale ani Turing nepochoval myslienku "poprehadzovanych" abecied. Ta ma jednu vyhodu. Pri uplne nahodnom pouzivani viacerych abecied je vysledna sifra matematicky dokazatelne nerozlustitelna. Prakticke uplatnenie je ale obmedzene. Problemom je skutocne nahodne poradie abecied, navyse ho treba dopredu bezpecne partnerovi oznamit a tak sa tento sposob pouziva len pre najcitlivejsie komunikacie tipu hotline medzi Ruskom a USA. Sifrovanie pre masy S novou dobou prisli nove naroky. Informacna spolocnost si vynutila vznik vysoko spolahlivej a pritom dostupnej sifrovacej metody pre najsirsie vrstvy. Odpovedou matematikov na prvu poziadavku boli takzvane jednosmerne funkcie, ktore matematicky vystihuju podstatu dobrej sifry - lahko zakodovat, ale tazko (bez specialnej vedomosti) odkodovat. Pri zostrojeni takejto funkcie pomohla teoria cisel, ktora sa tak cez noc stala strategickou vedou. Vychadza z uvahy, ze je lahke cisla nasobit, ale podstatne tazsie je cislo rozlozit na sucin. Odpovedou na druhu poziadavku bol system verejnych klucov, ktory zjednodusuje vymienanie informacii o sifrovacom kode medzi oboma stranami. System PGP, (prity good privacy), je dostupny i dostatocne robustny. Trvalo by miliony nasobku veku vesmiru, kym by spolu vsetky sucasne pocitace rozlustili jedinu spravu. Ibaze by medzi nimi bol jeden kvantovy pocitac. Ale tie su zatial len hudbou buducnosti a navyse i kvantove javy sami o sebe ponukaju robustne a uz i experimentalne vyskusane sifrovacie metody. Takze zapas medzi sifrovacmi a desifrovacmi tak skoro neskonci. I ked jadro spionaze sa mozno presunie aspon na cas ku klasickym technikam - nasadzovaniu ludskych, hardverovych ci softverovych Trojskych konov, odpocuvaniu, (vratane reci elektronickych obvodov) atd. Vitaziaci sifrovaci ale vzbudzuju obavy. Strata nenaburatelneho kodu k osobnym udajom moze byt stratou identity ci majetku. Spolahlivo utajena komunikacia zlocincov zas ohrozuje spolocnost. Prvy problem by mohli vyriesit doverihodne "uschovne klucov". Silne vlady, zvlast ta najsilnejsia, maju zas snahu prinutit tvorcov kodovacich programov k spolupraci. Ale to uz je iny zapas. Simon Singh, The Code Book, Anchor Books, 1999, 410 stran, 14$ Damas Gruska, 1962 informatik