Zviditelnit neviditelne Matematika ma medzi vedami vo vela smeroch vynimocne postavenie. Staci si len napriklad uvedomit, ze nech sa ju v skole ako dlho ucime, po maturitu sa v podstate nedostaneme dalej, nez kam sa matematika dostala pred 25O rokmi. Nie ze by sa odvtedy v tomto odbore nic nedialo, naopak, tazkost je skor v tom, ze pokrocila tak daleko, ze nie je v silach (a ani potrebe) vseobecneho vzdelania pokryt ani torzo jej neskorsich vysledkov. No a vysvetlit laikovi problemy, ktorymi sa zaobera v sucasnosti, tak aby ziskal zmysluplnu predstavu i o cestach, ktorymi sa ubera k ich rieseniu, to veru uz vobec nie je jednoduche. To moze byt jedna z pricin, preco popularnych knih o matematike, zvlast tych dobrych, vychadza o poznanie menej nez o prirodnych vedach. Sem samozrejme nedaju zaratavat knihy venovane magii cisel ci inak okultisticke, ktore maju s vedou malo spolocne. Motivaciou pre napisanie novej knihy musi byt nejaky, i neodbornikovi zrozumitelny novy vedecky vysledok, alebo nova optika, s akou by sa dala matematika prezentovat. Aka uspesna moze byt prva cesta vidno na svetovom bestselleri Simon Singha Fermat's Enigma, o Fermatovej vete a dlhej ceste generacii matematikov k jej dokazu, (roku 2000 vysiela aj v ceskom preklade). Keith Devlin, profesor matematiky na slavnej Stanfordskej univerzite, sa vybral druhou cestou, i ked ani on sa na nej nevyhyba prezentovaniu najnovsich vysledkov matematiky, vsade tam, kde si vseobecnejsim vykladom na to vytvoril podmienky (vratane spominaneho dokazu Fermatovej vety). Ustrednu temu svojej knihy, Jazyk matematiky, zhrna slovami: "Matematika nam dava oci, ktorymi mozeme uvidiet to, co by nasemu zraku ostalo inak skryte. V tomto zmysle mozno povedat, ze matematika je sposob, ako zviditelnit neviditelne." Na demonstrovanie tejto svoje tezy si vybral osem roznych oblasti matematiky. Kazdej z nich venuje samostatnu kapitolu (daju sa citat nezavisle), nacrtava chronologiu jej vyvoja podavanu v sirsom i nematematickom kontexte a v zavere pridava niektore zaujimave novsie vysledky ci aplikacie casto z velmi vzdialenych oblasti. Matematika prestala byt vedou o cislach uz davno, ale cisla v nej neprestali hrat svoju ulohu. "K comu sluzia cisla" je tak prirodzene prvou kapitolou vykladu. Ostatne cislo je jeden z prvych abstraktnych matematickych objektov - no jeho objav nebol vobec trivialny, trvalo tisice rokov kym ludia pochopili, ze to, co ma spolocne pat oviec a pat ostepov je abstraktny pojem mnozstva, a kym nasli sposob, ako ho efektivne vyjadrit cislom (jedno z prvych zviditelneni neviditelneho). Devlin rozprava o tom, ake nadsenie vzbudilo objavenie cisel a ciselnych vztahov a ake sklamanie vyvolalo to, ked sa zdalo, ze nie na vsetko sa naslo cislo, ale i o tom, ake lahke je vyjadrit jednoduchy ciselny vztah ci vlastnost a ako tazke moze byt jej platnost dokazat ci vyvratit. Ostatne dokaz je ustrednou technikou matematiky, ktora vo svoje rigidnosti nema nikde inde obdobu. Ten dava matematike dalsiu vynimocnost - nikdy nemusela popriet to, co uz raz vyhlasila za platne, to co raz dokazala. Cestu k dokazu sprostredkovava logika. V casti "Principy uvazovania" sa dozviem ako matematika sformalizovala a teda zviditelnila sposoby uvazovania, vydame sa na cestu tohoto procesu od Aristotelovych sylogizmov, cez Boolovu "algebraicku logiku" a Fregeho az po Hilbertov program "axiomatizacie" matematiky a Godelovu negativnu spravu o jeho moznostiach. Okrem odbociek, ku ktorym tema prilis laka (teoria mnozin a jej konstrukcii prirodzenych cisel, Russellov paradox) Devlin k tejto kapitole pridal este dve trochu nesurode "jazykove" casti: Chomskeho gramatiky, spadajuce skor do lingvistiky ci informatiky a statisticku analyzu literarneho textu, ktora by viac zapadla k inej kapitole. Skoda, ze tento priestor nevyuzil na i pre laika vdacnu temu roznych velkosti nekonecnych mnozin, tym skor, ze sa k nej neskor dostane pri zmienke o hypoteze kontinua a dokaze nerozhodnutelnosti konkretnych matematickych tvrdeni. V kapitole "Matematika pohybu" nas Devlin sprevadza dlhou cestou, kym sa matematike podarilo vyjadrit proces zmeny. Na jej zaciatku stali znepokojive Zenonove aporie a na jednom z jej vrcholov velke objavy Isaaca Newtona a Gottfrieda Leibniza, ktorym sa podarilo, i ked roznymi sposobmi, najst matematicky popis pohybu. Objav kalkulu (diferencialneho a integralneho poctu) bol velkym impulzom i pre ine vedy, zvlast pre fyziku. Devlin ide vsak v kapitole dalej, okrem diferencialnych pride i na polynomicke rovnice, zavedenie realnych a imaginarnych cisel. A i na jednu z najkrajsich matematickych rovnic, e na i.Pi + 1 = 0, ktora dava do necakaneho suvisi pat zakladnych matematickych konstant. Medzi najstarsie matematicke discipliny patri geometria (kapitola "Matematika dostava tvar"). Uz v Starom Grecku dosiahla taku rozvinutost, ze sa Euklidove Zaklady pouzivali este i 2000 rokoch od ich vzniku ako zakladna ucebnica geometrie. Ale od chvile, ked sa vytratili zo skol, uplynulo dost casu aby vzniklo okolo ich obsahu vela mytov. Citatel preto oceni, ze autor uvadza nie len obsah vsetkych trinastich knih Zakladov, viacere povodne definicie (z ktorych niektore definiciami tazko nazvat), vsetkych pat Euklidovych postulatov, ale i niekolko povodnych matematickych dokazov, ktorym roky neubrali na krase. Prirodzene, najvacsi priestor venuje piatemu postulatu (v skutocnosti Euklid pri dokazoch pouzival i postulaty, ktorych platnost mlcky predpokladal a az Hilbert v dvadsiatom storoci vytvoril uplny zoznam potrebnych dvadsiatich postulatov). Jeho povodnu kostrbatu formulaciu mozeme preformulovat do tvrdenia, ze "sucet uhlov v trojuholniku sa rovna 180 stupnov". A kedze tento postulat nijako nevyplyval z ostatnych, nic nebranilo matematikom uvazovat o svetoch, kde by neplatil, o "neeuklidovskych svetoch", o svete sferickej (a Riemanovej) geometrie, kde je sucet uhlov vacsi a svete pseudosfery, kde je mensi nez 180 stupnov. Odchylka je v oboch pripadoch tym mensia cim je "mensi" trojuholnik. Tieto uvahy vyzerali ako cista abstraktna konstrukcia az nam 50 rokov po ich objave fyzika naznacila, ze casopriestor v ktorom zijeme je zakriveny a ze ked sa nase uvahy zacnu pohybovat vo vesmirnych vzdialenostiach, neeuklidovske geometrie nam urobia lepsiu sluzbu nez ich predchodkyna. Matematika opat pomohla zviditelnit neviditelne. A ked je uz rec o geometrii, tazko sa vyhnut trom najslavnejsim starogreckym problemom: kvadrature kruhu, zdvojeniu kocky a trisekcii uhla. Ich rieseniu sa venovali generacie profesionalov i amaterov, no vzdorovali dve tisicrocia. Hoci kazdy student matematiky pozna ich zadanie, niektori dokonca vedia i to, ze su neriesitelne, ale len maloktori z nich tusia, ako asi sa tato skutocnost dokaze. I tym urobi Delvinova kniha dobru sluzbu. Mimochodom, to, ze je nieco neriesitelne, je stale pre vela amaterskych matematikov fakt, s ktorym sa tazko zmieruju. A tak travia roky svojho zivota rozdelovanim uhla pomocou pravitka a kruzidla na tri rovnake casti a ked sa im zda, ze dosiahli ciel, bombarduju svojimi rieseniami "malovernych" matematikov. Devlin sa okrem podpory ustrednej myslienky svojej knihy snazi prirodzene sprostredkovat i esteticky zazitok, ktory matematika ponuka kazdemu, kto o to stoji. Samotna matematika sa snazi ale najst i priamu cestu k vyjadreniu estetickych hodnot. A nie je nou len zlaty rez. "Matematika krasy" sa k nim dostava prostrednictvom teoriou grup a roznych symetrii, od problemu ukladania pomarancov v regali supermarketu a tvaru vcelich plastov ci snehovych vlociek sa autor dostane az po samoopravne kody na prenasanie informacii cez zasumene linky. Od otazky kolko existuje vzorov tapiet ci sposobov vydlazdenie s danym tvarom dlazdic az ku Conwayovmu objavu (z roku 1993) neperiodickej vyplne priestoru konvexnym hranolom, pri ktorom je kazda vrstva je pootocena voci predchadzajucej o iracionalny uhol. Hadam najpresvedcivejsou (a matematicky najnarocnejsou) pasazou o tom, ako matematika zviditelnuje neviditelne je kapitola "Matematika sa dostava k slovu". Zacina notoricky znamym problemom koningsbergskych mostov: ulohou bolo prejst vsetkych sedem mostov, ktore spajali oba brehy rieky Pregel a dva riecne ostrovy tak, aby chodec presiel po kazdom len raz. Uloha dlho odolavala rieseniu, to poskytol az iny pohlad na problem a jednoducha matematicka uvaha. Stacilo z problemu vyabstrahovat (zviditelnit) to podstatne a vznikol graf, ktoreho hrany boli mosty a vrcholy miesta, na ktore ustili. Riesitel ulohy, L. Euler, uvazoval takto: okrem vychodzieho a zaverecneho vrcholu musi mat kazdy, ktorym chodec prejde, parny pocet hran - jednou do neho vojde a jednou vyjde. No a kedze graf koningsbergskych mostov tuto podmienku nesplnal, takato prechadzka nie je mozna, zbytocne by sme drali podrazky hladanim jej itineraria. S grafmi sa ale touto ulohou nelucime. Ich vlastnosti sa ukazu byt cenne aj pri popise abstraktnych matematickych objektov. Zoznamime so zvlastnou Mobiovou paskou, "usatymi telesami", typologickymi transformaciami medzi nimi a aj ich charakterizaciou, ktora nerozlisuje medzi salkou na kavou a vanilkovym vencekom. Ale ani s "jednorozmernymi" objektmi to nema matematika lahsie - citatel sa o tom presvedci, ked sa docita, ake tazke je matematicky zachytit charakter uzlov na spagate. Ak vam test so spolahlivostou 80%, ktory ale pripusta 20% falosnu pozitivitu, preukaze, ze mate vzacnu chorobu (s 1% vyskytom), aka je pravdepodobnost, ze ju ozaj mate? Ak si myslite ze 80%, je najvyssi cas aby ste sa zacitali do kapitoly "Matematika, nahoda a pravdepodobnost". Dozviete sa, ze ju mate len s pravdepodobnostou 4.8%. A nie len preto to stoji za citanie. O nic menej nie je zaujimava posledna kapitola "Odhalovanie skrytych struktur vesmiru", ktora ale mozno viac hovori o tom, ako matematika pomahala modernej fyzike nez o jej priamom zviditelnovani neviditelneho. Dalvinova kniha je vybornym citanim nie len pre laika ale i pre odbornika, ktoremu poskytne obraz znamych veci v necakanych suvislostiach. Ten i oceni autorovu schopnost primerane zjednodusit vyklad tam kde sa to da, tak, aby ostal prijatelnym aj pre neskoleneho citatela, a tam kde je to prilis tazke, radsej na skoky vo vyklade upozorni nez by ho zvadzal. Vykladu by v niektorych drobnostiach pomohla redakcna praca - niektore pasaze sa temer doslova opakuju - ale to je skor vycitka anglickemu originalu. Vdaka vybornemu ceskemu prekladu (Jan Svabenicky) i vzornej celej redakcnej a tlaciarenskej praci, dostava sa nas trh kniha, ktoru ma citatel nie len chut vziat do ruk ale po jej docitani ju s potesenim aj odporucit priatelom. Aby aj ani uvideli neviditelne. Damas Gruska Keith Devlin, Jazyk matematiky, Argo a Dokoran, 2002, 343 stran, cena 350Kc