Matematika (tarski, a.)

- vedecká teória (78), ktorej tvrdenia (teorémy, vety) vyplývajú jedno z druhého v určitom poradí podľa istých princípov a sú spravidla sporevádzané dôkazmi.

Medzi termínmi a symbolmi vyskytujúcimi sa v matematických teorémach a dôkazoch rozlišujeme konštanty a premenné. Každý z týchto termínov má presne vymedzený význam, ktorý v priebehu úvah zostáva nemenný. Ako premenné sa spravidla používajú jednotlivé písmená. Na rozdiel od konštánt nemajú samé osebe nejaký význam.

Také výrazy, ktoré obsahujú premenné a stanú sa výrokmi, keď tieto premenné nahradíme konštantami, sa nazývajú výrokové funkcie.

Výrokové funckie a výroky, ktoré sa skladajú výlučne z matematických symbolov (a nie zo slov bežného jazyka), matematici označujú ako formuly.

Matematika ďalej obsahuje označovacie alebo deskriptívne funkcie, ktoré sú výrazmi meniacimi sa po nahradení premenných konštantami na označenie ("opis") vecí. Medzi deskriptívne funkcie patria všetky tzv. algebraické výrazy, ktoré sa skladajú z premenných, numerických konštánt a symbolov štyroch základných aritmetických operácií.

Algebraické funkcie, t. j. formuly skladajúce sa z dvoch algebraických výrazov spojených symbolom "=", sú výrokové funkcie. Premenné, ktoré sa
vyskytujú v rovniciach, sa zvykne hovoriť ako o neznámych, a o číslach, ktoré spĺňajú rovnicu, ako o koreňoch rovnice.

Najdôležitejšie teorémy matematiky su formulované ako všeobecné výroky alebo výroky všeobecného charakteru, ktoré tvrdia, že akákoľvek vec určitej kategóre (napr. v prípade aritmetiky ľubovoľné číslo) má takú a takú vlastnosť. Vo formulácii všeobecných výrokov sa používa obrat "pre akékoľvek veci (alebo čísla) x, y, ..."; tento obrat sa však často vypúšťa a musíme si ho myšlienkovo doplniť.

V matematike sa vyskytujú aj existenčné výroky alebo vyroky existenčného charakteru, ktoré konštatujú existenciu vecí (napr. čísel), ktoré majú určitú vlastnosť. Vo formulácii existenčnych výrokov sa používa obrat "existujú čísla x a y také, že ...", alebo pre niektoré čísla x a y, ...".

V matematike sa ďalej vyskytujú výroky, ktoré neobsahujú nijakú premennú; tieto sa označujú ako singulárne výroky alebo jedinečné výroky.

V matematike ďalej existujú podmienené existenčné výroky alebo absolútne exietenčné výroky, ktoré konštatujú, že čísla majúce určitú vlastnosť existujú, ale za podmienky, že existujú niektoré iné čísla.

Premenná sa delia voľné premenné a viazané premenné.

Zavedeniu premenných vďačíme za rozvoj metódy takej plodnej pre riešenie matematických problémov, akou je metóda rovníc. Vynález premenných znamenal bod obratu v dejinách matematiky; týmito symbolmi získal človek nástroj, ktorý pripravoval cestu obrovskému rozvoju matematickej vedy a upevneniu jej logických základov.

Veda o matematike sa nazýva metamatematika ( L606;19-29, 142).