Veta Gödelova o neúplnosti-EI

veta Gödelova o neúplnosti-EI

EI1
"R. 1931 ... Gödel dokázal tzv. vetu o neúplnosti, ktorá odhalila hranice Hilbertovho programu. Je to jedna z najvýznamnejších viet základného matematického výskumu. Z filozofického hľadiska je to rozhodujúca veta o podstate matematiky. Vetu o neúplnosti možno ... formulovať takto: 'V každom bezospornom formálnom systéme, ktorý obsahuje aspoň aritmetiku prirodzených čísiel (a tým aj svoju metamatematiku), existujú výrazy (formalizované výroky), ktoré sa - a ani ich negácie - nedajú odvodiť v rámci výrokového počtu.' ... každý výrokový počet vyššieho ako prvého rádu je v uvedenom zmysle neúplný, ... nie všetky dôsledky výrokového počtu možno odvodiť z ľubovoľne zvolených axióm pomocou konečného počtu krokov (algoritmus). [JP: To by mohlo svedčiť o nekonečnosti významových útvarov.]

Preto nemožno matematiku ani ako celok, ani v jej podstatných častiach chápať ako uzavretý kalkul. Predovšetkým to znamená, že nemožno súčasne potvrdiť úplnosť a bezospornosť výrazovo dostatočne bohatej matematickej oblasti. V uvedenom zmysle je buď bezosporná a potom neúplná, alebo úplná a potom protirečivá. Keďže sa nemožno zrieknuť bezospornosti, treba sa zrieknuť úplnosti. To znamená, že vo výrazovo dostatočne bohatej matematickej oblasti síce možno v dostatočne obsiahlom logickom jazyku vety formulovať, ale ich nemožno odvodiť." "...Gödelova veta ... navždy odstránila predstavu o matematike (alebo aj jej častiach) ako úplnej, navždy uzavretej vede." (L74; 60-61)